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Autour de l’axiome du choix

Auteure : Sabine RICHARD
Accéder au rapport de son stage, intitulé "Dynamique 3D du centre galactique par intégration numérique"
Responsable : Michel EMERY, Directeur de Recherche à l’IRMA.
Année : 2005 - 2006


De quoi ça parle ?

La théorie des ensembles est une des pierres fondatrices des mathématiques. En effet, cette théorie a joué un rôle important dans l’évolution des mathématiques au début du 20ème siècle ainsi que dans la manière de les concevoir. De plus, les autres théories mathématiques reposent sur les définitions et les résultats qui découlent de la théorie des ensembles.

Cependant celle-ci fut à l’origine de nombreuses polémiques et ne fait toujours pas l’unanimité. Lorsqu’elle fut développée par Georg Cantor à la fin du 19ème siècle (ce qu’on appelle la théorie naïve ou intuitive des ensembles), les paradoxes auxquels elle conduisait ont remis en cause les fondements des mathématiques. Aussi d’autres mathématiciens dont Zermelo et Fraenkel l’ont retravaillée et ont développé une théorie axiomatique des ensembles afin d’éviter les paradoxes.

Aux axiomes de la théorie de Zermelo-Fraenkel on ajoute généralement l’axiome du choix. Il est nécessaire pour démontrer des résultats qui paraissent a priori intuitifs et implique d’importants théorèmes comme le théorème de Zorn (Soit u un ensemble ordonné dont toute partie bien ordonnée est majorée, alors u a un élément maximal) ou encore le fait que tout espace vectoriel admette une base.

La première partie de ce mémoire expose la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel. La seconde démontre en particulier l’équivalence de trois énoncés de l’axiome du choix. Enfin la dernière partie donne une application de cet axiome au travers de la dénombrabilité d’une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables.


Le mémoire en version intégrale

Vous pouvez télécharger ce mémoire ici :

PDF - 528.9 ko
Mémoire de Sabine Richard

 
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