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Problème des trois corps : cas du "huit"

Auteure : Isabelle METZMEYER.
accéder à la fiche de son stage consacré à "l’étude d’un problème à deux centres fixes" et effectué à l’Observatoire de Paris
Responsable : Reinhardt SCHÄEFKE, Professeur à l’UFR de Math-Info.
Année : 2001 - 2002.


De quoi ça parle ?

Les orbites des corps céléstes sont le sujet de recherches en astronomie depuis plusieurs siècles. Leur connaissance la plus précise possible, principalement pour les cas particuliers modélisables, a engendré la découverte de nouvelles planètes — telle Uranus, dont l’existence possible a dans un premier temps été découverte par le calcul — et est indispensable à l’envoi de sondes spatiales.

A l’époque des premières études sur ce sujet, les astronomes étaient également mathématiciens : Newton, Képler ou encore Lagrange ont travaillé sur ce problème. De nos jours, des mathématiciens de formation s’interessent au sujet sur un plan purement formel, comme en analyse numérique ou en mathématiques ”classiques” : c’est le cas de Poincaré, Moore, Chenciner ou encore Montgomery.

Le problème des n corps consiste à déterminer explicitement toutes les orbites possibles de n corps, assimilés à des points dans le plan dotés d’une masse, en interaction gravitationnelle. Le cas n = 2 a été résolu par Newton : ses ”lois de Newton” permettent de décrire complètement le mouvement de 2 corps en interaction gravitationnelle.

Il est impossible de décrire toutes les solutions au problème des 3 corps : les équations de Newton amènent dans ce cas à considérer une équation différentielle non-résoluble. Il existe des cas particuliers dans lesquels on sait que les trajectoires des corps sont périodiques : Euler, Lagrange ou encore Hill en ont proposé plusieurs.

Ce mémoire étudie une autre orbite périodique découverte formellement par Chenciner et Montgomery, dans laquelle les 3 corps parcourent une orbite en forme de huit. Dans le cas où les corps sont de même masse, on obtient des équations de mouvement qu’il est possible de représenter par à des méthodes d’analyse numérique.


 
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