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Quelques cas particuliers de la conjecture de Serre

Auteure : Sophie PÉNISSON,
accéder à la fiche de son stage consacré à "une modélisation dynamique de la hauteur d’une mare dans le cadre de l’étude épidémiologique de la Fièvre de la Vallée du Rift" et effectué à l’INRA.
Responsable : Philippe NUSS. Maître de conférences à l’UFR de Maths-Info
Année : 2003-2004


De quoi ça parle ?

En 1955 (in Faisceaux algébriques cohérents, Ann. of Math. (2) 61, 1955), Jean-Pierre Serre écrit : "On ignore si il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres.’’ (avec A=k[x_1,...,x_n] o\`u k est un coprs commutatif). Ce que Serre présente comme un problème ouvert fut rapidement appelé "conjecture de Serre’’.

Certains cas particuliers étaient déjà connu : la conjecture est par exemple vraie lorsque l’on se restreint aux A-modules projectifs de rang 1 ou aux anneaux de polynômes à une indéterminée sur k. De nombreux mathématiciens s’interessèrent à ce problème. Ainsi, entre 1955 et 1976 --- année où il fut complètement résolu par Quillen et Suslin, qui prouvèrent de façon indépendante que la conjecture était vraie pour tout corps commutatif et tout entier n>0 --- plusieurs résultats intermédiaires furent démontrés, comme le cas n=2 par Seshradi en 1958.

Ce mémoire est, dans un premier temps, consacré aux cas des A-modules projectifs de rang 1 et des A-modules projectifs gradués, résolu par Cartan et Eilenberg en 1956. Un contre-exemple dans le cas ou n>1 et k est un corps gauche, démontré par Ojanguren et Sridharan en 1971, est aussi décrit.


Le mémoire en version intégrale

Vous pouvez télécharger ce mémoire ici :

PDF - 173.4 ko
Mémoire de S. Pénisson

 
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