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Théorème de Jordan et classification des surfaces

Auteur : Philippe HUMBERT,
Responsable : .
Année : 2006 - 2007


De quoi ça parle ?

Le but de ce mémoire est d’établir la classification des surfaces compactes, c’est-à-dire de décrire l’ensemble des surfaces compactes à homéomorphisme près. Pour cela, nous utilisons le théorème de Jordan-Schönflies, qui affirme qu’un cercle plongé dans le plan est la frontière d’un disque fermé. Le travail, inspiré d’un article de Carsten Thomassen, se découpe en deux étapes :

En premier lieu, nous démontrons, à partir du théorème de Jordan-Schönflies, que toute surface compacte est homéomorphe à une surface triangulée, i.e. à une surface obtenue en "collant" deux à deux les côtés d’un nombre fini de triangles.

Une fois ce premier résultat établi, on peut procéder à la classification des surfaces compactes par la formule d’Euler, en travaillant dans le monde plus familier des surfaces triangulées. On obtient que toute surface compacte est soit la somme connexe d’une sphère et de h tores (h>-1), soit la somme connexe d’une sphère et de k plans projectifs réels (k>0).

Ce théorème, démontré dès 1923 par Kerékjarto, est à présent un résultat topologique classique, utile pour l’étude des variétés de dimensions supérieures, mais qui joue également un rôle en mathématiques discrètes et en informatique théorique.


 
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