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Groupes nilpotents sans torsion et complétés de Mal’cev

Auteure : Esther SUISSE,
accéder à la fiche de son stage intitulé "Analyse de Fourier d’un bloc de données 4D issues d’un examen de tomoscintigraphie myocardique" et effectué à l’hôpital de Hautepierre.
Responsable : Gwenaël MASSUYEAU. Chargé de Recherches à l’IRMA
Année : 2006 - 2007


De quoi ça parle ?

Ce mémoire a pour objet l’étude de quelques propriétés des groupes que l’on qualifie de nilpotents.

Ces groupes constituent une généralisation des groupes abéliens : le commutateur de deux éléments a et b d’un groupe G, défini par [a, b] = a−1b−1ab, est toujours trivial dans un groupe commutatif. On dit d’un groupe G qu’il est nilpotent de classe 2 s’il vérifie la propriété moins forte que, pour tous éléments a, b et c du groupe, [ [a, b], c] est trivial. On observe de même des groupes nilpotents de classe n, où n est un entier naturel.

Nous nous intéresserons ici plus particulièrement aux groupes nilpotents de type fini, c’est-à-dire engendrés par un nombre fini d’éléments, ou sans torsion, ce qui se traduit par l’absence d’éléments périodiques dans le groupe.

Quelques rappels succincts me permettent, dans le premier chapitre, de rappeler quelques notions essentielles à l’étude des groupes dans leur ensemble, et à notre étude des groupes nilpotents en particulier. Ceux-ci sont complétés par une présentation rapide des différentes classes de groupes qui nous seront utiles, que l’on trouvera dans le chapitre deux. Nous y détaillerons les définitions des groupes abéliens, nilpotents, sans torsion et de type fini, mais également celles des termes divisible et polycyclique, qui auront un rôle important dans les consid´erations qui suivront.

L’objet du troisième chapitre touche, plus particulièrement, un type spécifique de clôture divisible, que l’on nomme complété de Mal’cev, du nom du mathématicien qui est à l’origine de sa construction. La clôture divisible d’un groupe nilpotent sans torsion est simplement une extension de ce groupe, elle même nilpotente et dépourvue de torsion, dans laquelle sont assurées l’existence d’une solution à toute équation du type xn = g, où g est un élément du groupe et n un entier naturel non nul, et l’unicité de cette solution. Afin de construire une telle clôture, nous nous intéresserons à un système de coordonnées d’un groupe nilpotent de type fini sans torsion, système auquel on donne le nom de coordonnées de Mal’cev. Celles-ci nous permettront d’édifier un complété de Mal’cev pour un groupe nilpotent de type fini sans torsion, et par ce biais, de généraliser ce complété à tout groupe nilpotent sans torsion, auquel on n’impose plus d’être de type fini. Il est également intéressant de constater que cette clôture divisible est de plus unique à isomorphisme près.


Le mémoire en version intégrale

Vous pouvez télécharger ce mémoire ici :

PDF - 494.5 ko
Mémoire d’Esther Suisse

 
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