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Fonctions harmoniques et distribution asymptotique des valeurs propres du laplacien

Auteur : Gilles STUPFLER,
Responsable : Vilmos KOMORNIK. Professeur à l’UFR de Maths-Info
Année : 2006-2007


De quoi ça parle ?

De nombreux problèmes physiques se ramènent à la résolution d’une équation dans laquelle intervient le laplacien Δ. Citons quelques exemples :

1. En électromagnétisme, l’équation donnant le potentiel électrostatique V créé par une distribution volumique de charge ρ est ΔV =ρ / ε0 , où ε0 est la permittivité du vide (équation de Poisson).

2. En thermodynamique, l’équation donnant la distribution de la température T dans un solide, en régime stationnaire, est ΔT = 0 (équation de la chaleur).

3. Toujours en thermodynamique, l’équation donnant la diffusion des molécules dans un fluide en régime stationnaire est Δc = 0, où c est la concentration des ces molécules (deuxième loi de Fick).

4. L’équation des ondes Δu−1/c2 utt = 0 apparaît en électromagnétisme, ou en acoustique.

L’opérateur laplacien apparaît donc dans des domaines variés de la physique, et la résolution d’une équation comportant un laplacien est en général assez difficile.

Le but de ce mémoire est de présenter quelques propriétés du laplacien qui sont utiles pour résoudre certains problèmes physiques. On étudiera en premier lieu l’équation Δu = 0 avec des conditions aux limites particulières, appelées conditions de Dirichlet.

On verra que les fonctions solutions d’un tel type de problème ont des propriétés surprenantes. Ensuite, on se focalisera plus particulièrement sur la distribution asymptotique des valeurs propres du laplacien sur un domaine connexe borné ayant une frontière de classe C1.

Ceci a un intérêt en physique des ondes, et plus particulièrement en acoustique : en effet, on peut prédire les notes produites par un tambour simplement en le regardant, si on connaît la distribution asymptotique des valeurs propres du laplacien sur un ouvert dont l’aire est celle de la membrane du tambour. On étudiera à cet effet un cas simple, qui est celui d’un domaine rectangulaire de R2, pour ensuite étendre les résultats.


Le mémoire en version intégrale

Vous pouvez télécharger ce mémoire ici :

PDF - 689.5 ko
Mémoire de Gilles STUPFLER

 
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