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Les polylogarithmes

Auteur : Anne BACH,
Responsable : Marc ROSSO. Professeur à L’UFR de Maths-Info (actuellement Professeur à l’ENS Paris)
Année : 1997-1998


De quoi ça parle ?

Le logarithme d’un nombre strictement positif a est connu implicitement depuis Archimède, qui compara dans son Traité de l’Arénaire, la suite des entiers et la suite des puissances entières de a. Au début du 17ème siècle, les travaux de John Néper permirent de développer la notion de logarithme. Mais ce n’est qu’au le milieu du 18ème siècle que Leonard Euler élabora une théorie du logarithme des nombres complexes. En particulier, tout nombre complexe non nul admet une infinité de logarithmes, différant l’un de l’autre par un multiplie entier de 2i Π. Autrement dit, le logarithme est une fonction holomorphe multivaluée sur C \ {0}, et on parle alors des déterminations du logarithme.

Défini par Leibniz en 1696, le dilogarithme - prolongement analytique de la série entière de terme général zn/n2 - a des propriétés analytiques, topologiques et algébriques analogues à celles du logarithme. Il a été étudié en détail par Euler en 1768, mais de nombreux mathématiciens, tels Abel, Hill, Landen ou Zagier plus récemment, s’y sont intéressés.

Quelques années plus tard, les polylogarithmes - prolongements analytiques des séries entières de terme général zn/nk, k un entier positif - ont été introduits. Ces fonctions ont été l’objet de travaux menés par Kummer dès 1840 et par Bloch, Clausen et Lewin plus tard. Jusqu’en 1975, les polylogarithmes étaient essentiellement considérés comme des fonctions spéciales et ne suscitaient pas un grand intérêt ; il s’agissait de déterminer des équations fonctionnelles vérifiées par les polylogarithmes, de trouver des valeurs remarquables, de calculer des intégrales et des séries dans lesquels ils interviennent,... Or depuis une vingtaine d’années les polylogarithmes font leur apparition dans de nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’en physique quantique ou en électronique. De ce fait, les découvertes à leur sujet se multiplient d’années en années.

Dans ce mémoire, nous nous contentons d’établir les principaux résultats concernant ces fonctions. Nous proposons tout d’abord d’établir quelques résultats essentiels sur le dilogarithme : équation fonctionnelle à une ou plusieurs variables (relations de factorisation, d’inversion et de réflexion) et intégrale de Clausen. Puis nous expliquons comment ces résultats se généralisent aux polylogarithmes. Nous nous intéressons ensuite au caractère multivalué de ces fonctions et établissons les relations de monodromie qu’elles vérifient.


 
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