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Les fractals

Auteure : Audrey FINKLER,
Responsable : Patrick FOULON. Professeur à L’UFR de Maths-Info
Année : 2002-2003


De quoi ça parle ?

Bien qu’elles ne modélisent la plupart du temps que mal les phénomènes naturels, les fonctions lisses et régulières étaient encore il y a une dizaine d’années le principal sujet des recherches en analyse. Cependant, depuis la fin du 19ème siècle et surtout les années 1970, les mathématiciens ont découvert les incroyables propriétés des fractals.

Weierstrass a construit en 1872 une courbe continue mais différentiable nulle part, et Peano obtint en 1890 une courbe remplissant entièrement un carré, ce qui lui fit dire ``Je la vois mais je ne le crois pas !’’. Mais le premier véritable objet fractal connu fut obtenu en 1883 par Cantor et est connu sous le nom d’ensemble de Cantor. C’est Mandelbrot qui donna le nom ``fractal’’ du latin fractus (irrégulier), adjectif dérivé du verbe frangere (briser).

Il existe plusieurs manières de définir les fractals, dont la plupart sont purement intuitives. La première --- certainement la plus naïve --- définit les fractals comme des objets géométriquement intermédiaires entre points, courbes, surfaces,... qui sont des ensembles de dimension topologique entière. De son côté, Mandelbrot les définit comme des ensembles dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à la dimension topologique. Une troisième définition, donnée par Falconer, consiste en une liste de propriétés qui les caractérise. Un objet F est fractal si :
- F a une bonne structure, c’est-à-dire a une structure détaillée à toute échelle.
- F est globalement localement trop irrégulier pour être décrit dans un langage géométrique classique.
- F est auto-similaire, cette auto-similarité pouvant être approximative ou statistique.
- La dimension fractale de F est plus grande que sa dimension topologique.
- F est défini de manière récursive.

La diversité de ses définitions fait qu’un objet fractal peut s’étudier selon plusieurs points de vue, comme l’analyse, la géométrie, la topologie, la théorie de la mesure ou les probabilités. Nous aborderons dans ce travail chacun de ces aspects : les points de vue géométrique et topologique, en introduisant les outils développés par Hausdorff, puis l’aspect analytique dynamique, en introduisant en particulier les ensembles de Julia. Nous conclurons en décrivant certaines applications physiques (notion de chaos, mouvement brownien).


 
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