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Fractions continues

Auteur : Jean-Didier GARAUD,
Responsable : Norbert SCHAPPACHER. Professeur à L’UFR de Maths-Info
Année : 1997-1998


De quoi ça parle ?

Une des raisons de l’intérêt porté par les mathématiciens aux fractions continues est certainement le fait qu’elles permettent de faire les meilleures approximations des nombres irrationnels. Ainsi, on les retrouve dans bon nombre de problèmes, autant en mathématiques qu’en physique. En mathématiques, elles sont principalement utilisées pour la résolution d’équations diophantiennes, mais elles interviennent aussi dans ``l’inverseur de Plouffe’’. Ce dernier est un programme utilisant les fractions continues pour savoir, à partir de son écriture décimale approchée, la valeur exacte d’un nombre. En physique, les fractions continues ont été étudiées par Huygens pour réaliser un modèle de système solaire utilisant des roues crantées. Le but de ce mémoire n’est cependant pas de s’intéresser à l’une de ces applications, mais plutôt d’étudier un résultat général sur les fractions continues.

Le point de départ est le critère de Legendre, qui affirme que si ξ est un réel et p,q des entiers, la majoration |ξ - p/q| < 1/(2 q2) entraîne que p/q est une réduite de ξ. Le nombre d’or a la particularité de vérifier ce critère même si l’on remplace la majoration par 1/q2. Ce résultat, prouvé par Möbius, a été le point de départ de ce mémoire.

Nous avons ensuite cherché d’autres exemples de nombres vérifiant le même critère que le nombre d’or, et essayé d’expliquer quelles sont les raisons pour lesquelles le nombre d’or a cette particularité. Nous obtenons le résultat principal de ce mémoire : un critère moins général, adapté à chaque nombre et améliorant la précision du critère de Legendre.


 
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