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Algèbres de Clifford et applications à la supersymétrie

Etudiante : Christelle HUSS.

Lieu de Stage : Laboratoire de Physique Théorique, ULP, Strasbourg
Responsable : Michel RAUSCH DE TRAUBENBERG.
Année : 2004-2005


De quoi ça parle ?

Les algèbres de Clifford réelles de dimension d peuvent être représentées par des matrices d’ordre 2E(d/2), appelées matrices de Dirac. L’espace vectoriel sur lequel agissent ces matrices est la représentation spinorielle.

La représentation matricielle de l’algèbre de Clifford de dimension 4 a été introduite par Dirac lorsqu’il cherchait une équation différentielle relativiste - c’est-à-dire valable pour des particules se déplaçant à des vitesses élevées --- du premier ordre qui puisse généraliser l’équation de Schrödinger. Cette équation de Dirac permet de décrire les particules de spin 1/2 (où le spin représente le moment cinétique intrinsèque de la particule), comme les électrons.

En physique des particules, on peut distinguer 2 types de particules : les bosons, qui ont un spin entier, et les fermions, dont le spin est un demi-entier. Les propriétés de ces particules, ou la façon dont elles interagissent, sont données par les algèbres de Lie qui décrivent leurs symétries internes. Par contre la supersymétrie, qui s’inscrit dans les tentatives d’unir la relativité générale et la mécanique quantique, échange les bosons et les fermions et est décrite par les superalgèbres de Lie. Comme nous l’expliquons, les algèbres de Clifford sont essentielles dans l’étude de cette supersymétrie.

Cette étude commence par quelques rappels sur les algèbres de Lie et le groupe de Lorentz. Elle décrit ensuite la classification des algèbres de Clifford puis leur rapport avec les spineurs. Les propriétés des matrices de Dirac qui sont présentées ensuite permettent de distinguer différents types de spineurs. Enfin, deux applications des algèbres de Clifford sont décrites : l’équation de Dirac et la supersymétrie en dimension 4.


 
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