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Produit libre et groupe modulaire

Intervenant : Guillaume TOMASINI

Date : Vendredi 25 Avril 2008

L’objectif de l’exposé présenté par Guillaume Tomasini le 25 Avril 2008 a été d’exposer la notion de produit libre de groupes et de voir comment cette notion intervient naturellement en géométrie. Le produit libre est une construction combinatoire très intéressante qui permet d’étudier les éléments d’ordre finis d’un groupe, ses sous–groupes. . . Cette construction conduit aussi à la notion de groupe libre et donc à celle de présentation de groupes.

Un construction analogue à celle de produit libre (mais non incluse dans ces notes) est celle de produit amalgamé. Elle apparaît en topologie algébrique dans le théorème de Van Kampen et est donc naturellement associée à l’étude du groupe fondamental. Le lien que nous présentons avec la géométrie est aussi l’occasion d’aborder un modèle simple de géométrie non–euclidienne : le demi–plan de Poincaré. Cette présentation se veut fidèle à l’esprit du programme d’Erlangen de Felix Klein : nous mettrons donc en avant le lien entre la géométrie du demi–plan et son groupe d’isométrie et nous décrirons certains sous–groupes discrets.

La première partie de ces notes est consacrée à la construction du produit libre et à ses propriétés les plus importantes. Dans la deuxième partie nous présenterons le lemme du ping– pong de Klein, qui permet de reconnaître géométriquement certains produits libres. Enfin nous donnerons un aperçu de la géométrie hyperbolique sur le demi–plan de Poincaré et nous donnerons quelques éléments d’étude du groupe modulaire.

- Voici les notes de l’exposé, rédigées par G. Tomasini :

PDF - 176.5 ko

 
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