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De l’analyse complexe à la répartition des nombres premiers

Auteur : Emilie KAUFMANN,
Responsable : Henri CARAYOL. Professeur à l’UFR de Maths-Info
Année : 2007- 2008


De quoi ça parle ?

Dans ce mémoire, on s’intéresse à certains résultats de la théorie analytique des nombres. Cette branche des mathématiques utilise des outils d’analyse complexe pour établir des résultats sur les entiers, notamment sur les entiers premiers.

L’objectif de ce mémoire est de faire le lien entre l’un des plus célèbres problèmes de théorie analytique (l’hypothèse de Riemann) et la répartition des nombres premiers. On verra qu’il existe en effet une formulation équivalente de l’hypothèse de Riemann donnant un terme d’erreur dans le théorème des nombres premiers, qui sera préalablement démontré.

On trouvera en effet plusieurs démonstrations du théorème des nombres premiers (π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs à x, est équivalent à x / log(x)). La première utilise le fait que la fonction zeta n’a pas de zéros sur Re(s) = 1, la seconde donne un terme d’erreur un peu plus précis et utilise une zone sans zéros pour zeta un peu plus grande.

On démontrera aussi un résultat plus fort, le théorème des nombres premiers en progression arithmétique, qui donne le comportement asymptotique de π(x ; q, a), nombre de nombres premiers congrus à a modulo q.

Le point commun de ces trois démonstrations est l’utilisation de formules reliant séries de Dirichlet et fonctions sommatives (notions qui seront bien sur précisées). Lorsqu’on étudie les nombres premiers en progression arithmétique, on verra aussi que les caractères de Dirichlet apparaissent naturellement, ainsi que les fonctions L associées.


Le mémoire en version intégrale

Vous pouvez télécharger ce mémoire ici :

PDF - 1.6 Mo
mémoire d’Emilie Kaufmann

 
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