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Caractéristique d’Euler des surfaces et présentation de polyèdres célèbres

Auteur : Mathieu COLLOWALD,
Responsable : Vincent BLANLOEIL. Maître de Conférences à l’UFR de Maths-Info
Année : 2007- 2008


De quoi ça parle ?

Dès l’antiquité grecque, les polyèdres ont fasciné les plus grands savants. Platon avait énoncé une théorie selon laquelle tout élément classique avait été créé à partir des 5 polyèdres réguliers convexes (les solides de Platon). Si la découverte de ces 5 polyèdres peut être attribué à Pythagore, c’est un contemporain de Platon, Théétète, qui a transmis la première démonstration qu’il n’existe pas d’autres polyèdres réguliers convexes. Dans son livre Éléments (livre XIII), Euclide a repris cette étude en la complétant par des propriétés de ces différents polyèdres : par exemple, le rapport entre la longueur d’un côté du polyèdre et le diamètre de sa sphère circonscrite. D’autres théories concernant ces 5 polyèdres ont existé, notamment celle de l’astronome allemand Johannes Kepler. Celui-ci présenta dans son livre Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, un modèle de système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites.

Au XVIIIe siècle, le célèbre mathématicien et physicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) s’est également penché sur la géométrie et la topologie algébrique. De ses travaux, on retient notamment le cercle et la droite d’Euler pour un triangle dans le plan, mais aussi la formule d’Euler pour les polyèdres (S -A+F = 2, où S est le nombre de sommets du polyèdre, A le nombre d’ar^etes et F le nombre de faces) et la caractéristique d’Euler pour les surfaces. Concernant la formule d’Euler, il semblerait que Descartes est également découvert une formule similaire. C’est pourquoi cette formule est fréquemment appelée : relation ou théorème de Descartes- Euler. De m^eme, la caractéristique d’Euler est aussi appelée caractéristique d’Euler-Poincaré, car celle-ci a été le point de départ de travaux de Poincaré sur la topologie algébrique, plus particulièrement sur l’homologie.

Dans notre premier chapitre, nous définirons differentes notions, qui nous servirons tout au long de notre étude. Puis, nous nous intéresserons à la formule d’Euler pour les polyèdres à partir de deux approches différentes : l’une plus empirique, l’autre fondée sur la géométrie sphérique. Puis, nous étendrons notre étude à la caractéristique d’Euler pour les surfaces et nous essaierons de classifier ces dernières. Finalement, nous étudierons quelques familles célèbres de polyèdres, qui, grâce à la formule d’Euler, nous seront plus familières.


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